2021福建師范大學高等數學（自）研究生考試大綱 正文

《高等數學（自）》考試大綱
 
第一部分  考試形式和試卷結構
一、試卷滿分及考試時間
試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘．
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試．
三、試卷題型結構
試卷題型結構為：
（一）單項選擇題 ：8小題，每小題4分，共32分
（二）填空題：6小題，每小題4分，共24分
（三）解答題（包括證明題）： 9小題，共94分
第二部分  考試內容和考試要求
一、函數、極限、連續
考試內容
    函數的概念及表示法，函數的有界性，單調性，周期性和奇偶性， 復合函數，反函數，分段函數和隱函數，基本初等函數的性質及其圖形，初等函數，函數關系的建立．
    數列極限與函數極限的定義及其性質，函數的左極限和右極限，無窮小量和無窮大量的概念及其關系，無窮小量的性質及無窮小量的比較， 極限的四則運算， 極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則，兩個重要極限：
     
函數連續的概念，函數間斷點的類型，初等函數的連續性，閉區間上連續函數的性質．
考試要求
1．理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系．
2．了解函數的有界性，單調性，周期性和奇偶性．
3．理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念．
4．掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念．
5．了解數列極限和函數極限（包括左極限與右極限）的概念．
6．了解極限的性質與極限存在的兩個準則，掌握極限的四則運算法則，掌握利用兩個重要極限求極限的方法．
7．理解無窮小的概念和基本性質，掌握無窮小量的比較方法，了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系．
8．理解函數連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函數間斷點的類型．
9．了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并會應用這些性質．
二、一元函數微分學
考試內容
    導數和微分的概念，導數的幾何意義， 函數的可導性與連續性之間的關系，平面曲線的切線與法線，導數和微分的四則運算， 基本初等函數的導數， 復合函數、反函數和隱函數的微分法，高階導數，一階微分形式的不變性，微分中值定理，洛必達（L'Hospital）法則，函數單調性的判別，函數的極值，函數圖形的凹凸性，拐點及漸近線，函數圖形的描繪，函數的最大值與最小值．
考試要求
1．理解導數的概念及可導性與連續性之間的關系，了解導數的幾何意義與經濟意義（含邊際與彈性的概念），會求平面曲線的切線方程和法線方程．
2．掌握基本初等函數的導數公式，導數的四則運算法則及復合函數的求導法則，會求分段函數的導數, 會求反函數與隱函數的導數．
3．了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數．
4．了解微分的概念，導數與微分之間的關系以及一階微分形式的不變性，會求函數的微分．
5．理解羅爾( Rolle)定理，拉格朗日( Lagrange)中值定理，了解泰勒定理．柯西(Cauchy)中值定理，掌握這四個定理的簡單應用．
6．會用洛必達法則求極限．
7．掌握函數單調性的判別方法，了解函數極值的概念，掌握函數極值、最大值和最小值的求法及其應用．
8．會用導數判斷函數圖形的凹凸性（注：在區間內，設函數具有二階導數．當時，的圖形是凹的；當時，的圖形是凸的），會求函數圖形的拐點和漸近線．
9．會描述簡單函數的圖形．
三、一元函數積分學
考試內容
    原函數和不定積分的概念，不定積分的基本性質，基本積分公式，定積分的概念和基本性質，定積分中值定理，積分上限的函數及其導數，牛頓一萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式,不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，反常（廣義）積分，定積分的應用.
考試要求
1．理解原函數與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質和基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法和分部積分法．
2．了解定積分的概念和基本性質，了解定積分中值定理，理解積分上限的函數并會求它的導數，掌握牛頓一萊布尼茨公式以及定積分的換元積分法和分部積分法．
3．會利用定積分計算平面圖形的面積，旋轉體的體積，會利用定積分求解簡單的應用問題．
4．了解反常積分的概念，會計算反常積分．
四、多元函數微積分學
考試內容
    多元函數的概念 ，二元函數的幾何意義 ，二元函數的極限與連續的概念 ，有界閉區域上二元連續函數的性質，多元函數偏導數的概念與計算，多元復合函數的求導法與隱函數求導法， 二階偏導數， 全微分， 多元函數的極值和條件極值，最大值和最小值． 二重積分的概念，基本性質和計算.
考試要求
1．了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義．
2．了解二元函數的極限與連續的概念，了解有界閉區域上二元連續函數的性質．
3．了解多元函數偏導數與全微分的概念,會求多元復合函數一階、二階偏導數，會求全微分,會求多元隱函數的偏導數．
4．了解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決簡單的應用問題．
5．了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算方法（直角坐標．極坐標）．
五、無窮級數
考試內容
    常數項級數收斂與發散的概念，收斂級數的和的概念，級數的基本性質與收斂的必要條件，幾何級數與級數及其收斂性，正項級數收斂性的判別法，任意項級數的絕對收斂與條件收斂，交錯級數與萊布尼茨定理，冪級數及其收斂半徑．收斂區間（指開區間）和收斂域，冪級數的和函數，冪級數在其收斂區間內的基本性質，簡單冪級數的和函數的求法，初等函數的冪級數展開式.
考試要求
1．了解級數的收斂與發散，收斂級數的和的概念．
2．了解級數的基本性質和級數收斂的必要條件，掌握幾何級數及級數的收斂與發散的條件，掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法．
3．了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系，了解交錯級數的萊布尼茨判別法．
4．會求冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域．
5．了解冪級數在其收斂區間內的基本性質（和函數的連續性、逐項求導和逐項積分），會求簡單冪級數在其收斂區間內的和函數．
6．了解，，，及的麥克勞林（Maclaurin）展開式．
六、常微分方程
考試內容
    常微分方程的基本概念，變量可分離的微分方程，齊次微分方程，一階線性微分方程，線性微分方程解的性質及解的結構定理，二階常系數齊次線性微分方程及簡單的非齊次線性微分方程，微分方程的簡單應用．
考試要求
1．了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念．
2．掌握變量可分離的微分方程，齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法．
3．會解二階常系數齊次線性微分方程．
4．了解線性微分方程解的性質及解的結構定理，會解自由項為多項式，指數函數，正弦函數，余弦函數的二階常系數非齊次線性微分方程．
5．會用微分方程求解簡單的應用問題．

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