2021湖南理工學院近世代數研究生考試大綱 正文

2021年碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱（加試）
 
加試科目名稱: 近世代數
一、考核目標
（一）考查考生理解近世代數的基本概念和基本方法，提高數學修養與技巧，以便能深入理解中學代數的內容和方法。
（二）考查考生抽象思維能力、邏輯推理能力，掌握現代數學的思維方法，解決現實世界中的實際問題。
二、試卷結構
（一）考試時間：120分鐘，滿分：100分
（二）題型結構
一、單項選擇題，20分；
二、填空題，30分；
三、解答題（包括證明題），50分。
三、 答題方式
答題方式為閉卷 筆試
四、考試內容與考試要求
1．基本概念
考試內容
單(滿)射的概念與刻畫，代數運算的概念與算律，等價關系與集合分類的概念與相互關系.
考試要求
（1）理解單(滿)射的概念，掌握單(滿)射的刻畫．
（2）理解代數運算的概念，了解代數運算的算律.
（3）理解等價關系與集合分類的概念，了解它們的相互關系．
2. 群
考試內容
半群，群，元素的階，循環群，變換群，置換群，子群，子群的陪集，正規子群，
商群，同態基本定理與同構定理．
考試要求
（1）理解半群，群的概念．掌握群的刻畫．
（2）理解元素階的概念．掌握元素階的性質與刻畫．
（3）理解循環群的概念．掌握循環群的性質與結構．
（4）了解變換與變換群的概念．理解置換與置換群的概念．掌握置換的表示方法．會計算置換的乘法．理解 Cayley 定理．
（5）理解子群的概念．掌握子群的性質與刻畫．
（6）理解子群的左（右）陪集的概念，性質與刻畫．了解群的左（右）陪集分解．掌握 Lagrange 定理．
（7） 理解正規子群的概念．掌握正規子群的刻畫．理解正規子群與商群的關系．
（8）掌握同態基本定理．理解同構定理．
3. 環與域
考試內容
環的概念，子環，理想與商環，同態基本定理，同構定理，素理想與極大理想，商域，多項式環.
考試要求
（1）理解環的概念. 了解整環，除環，域，特征等概念.
（2）理解子環的概念. 了解子環的性質與刻畫.
（3）理解理想與商環的概念. 掌握環的同態基本定理. 了解環的同構定理.
（4）理解素理想與極大理想的概念. 理解素理想與極大理想的刻畫.
（5）理解商域的概念. 了解商域的性質.
（6）理解交換環上多項式環的概念與性質.
4. 整環里的因子分解
考試內容
不可約元，素元，最大公因子，唯一分解環，主理想環、歐氏環.
考試要求
（1）理解整環上不可約元，素元，最大公因子的概念，了解不可約元與素元的關系.
（2）理解唯一分解環的概念. 了解唯一分解環的性質與刻畫.
（3）理解主理想環的概念. 了解主理想環的性質. 了解唯一分解環與主理想環的關系.
（4）理解歐氏環的概念. 了解歐氏環的性質. 了解主理想環與歐氏環的關系.
 
五、主要參考書目
[1] 張禾瑞遍，近世代數基礎，高等教育出版社，1997年修訂本.
[2] 朱平天，李伯葓，鄒園編，近世代數（第二版），科學出版社，2009.
 

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