2022年內蒙古師范大學復變函數論碩士研究生復試考研大綱

發布時間：2021-10-08 編輯：考研派小莉推薦訪問：

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2022年內蒙古師范大學復變函數論碩士研究生復試考研大綱正文

學科、專業名稱：數學
復試科目：復變函數論
考試大綱
考試科目：復變函數
考試形式：閉卷、筆試。
試卷分數及考試時間：試卷滿分為 100 分，考試時間為 120 分鐘。考試內容：
1.復數與復變函數
掌握復數的各種表示方法及四則、乘冪、方根和共軛運算。了解區域的概念，單連通域、多連通域的區分。了解曲線、光滑曲線、簡單閉曲線的定義，會用復數的方程式或不等式表示一些常見的平面曲線與區域。掌握復變函數的概念、復變函數的極限與連續的定義，理解復變函數與兩個實二元函數間的關系，掌握復變函數極限的計算。
2.解析函數
理解復變函數可微與解析的概念.了解解析函數的一些簡單性質. 熟練掌握復變函數解析的判別方法，熟悉函數解析的充要條件.會判斷函數在一點或區域上的解析性.了解指數函數、三角函數的定義及其主要性質，了解雙曲函數的定義，掌握指數函數、三角函數的計算，理解根式函數、對數函數的定義及其主要性質，了解反三角函數與反雙曲函數，掌握根式函數、對數函數、一般冪函數與一般指數函數的計算。
3.復變函數的積分
理解復積分的概念.了解復積分的性質，理解柯西積分定理及兩種推廣、柯西積分公式及其推論。掌握復變函數積分的計算方法（參數方程法、柯西積分定理、柯西積分公式、高階導數公式、牛頓-萊布尼茲公式等），理解 Liouville定理及 Morera 定理，掌握解析函數的無窮可微性，掌握刻畫解析函數的兩個等價定理。理解調和函數與共軛調和函數的概念，掌握由調和函數與共軛調和函數構成的解析函數的求法。
4.解析函數的冪級數表示法
理解復級數收斂、發散及和的概念，理解解析函數項級數的 Weierstrass 定理，了解絕對收斂與條件收斂的概念，掌握復數項級數斂散性的判別方法，理解冪級數收斂圓與收斂半徑的概念及 Able 定理，掌握冪級數收斂半徑的求法，理解泰勒定理，了解冪級數的和函數在其收斂圓周上的狀況，掌握將一個解析函數展為冪級數的基本方法，記住一些常用初等函數的泰勒展式，掌握具有 m 階零點的解析函數的表達式，會判斷解析函數零點的階，掌握孤立性及唯一性定理的應用。
5.解析函數的洛朗(Laurent)展式與孤立奇點
理解 Laurent 級數的概念，了解 Laurent 級數與 Taylor 級數的關系，掌握利用已知的冪級數展式去求所需要的 Laurent 展式，理解孤立奇點的三種類型，了解關于本性奇點的 Weierstrass 定理 Picard 大定理，掌握孤立奇點的求法，并能確定它們的類型.掌握孤立奇點∞的類型的判定，了解整函數的分類. 理解亞純函數的概念，掌握整函數的概念。
6.留數理論及其應用
理解留數的概念及柯西留數定理，了解函數在無窮遠點的留數，掌握留數的計算方法，特別是函數在一、二階極點處留數的求法，掌握利用柯西留數定理計算復積分，理解積分路徑上有奇點的積分，掌握用留數定理計算實積分，掌握幅角原理和 Rouche 定理的應用，特別是利用 Rouche 定理證明根的問題。
7.共形映射
理解共形映射的基本性質，掌握共形映射構造及其應用。主要參考書目：
《復變函數論》(第三版).鐘玉泉編，高等教育出版社，2004 年 1 月.

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