2022年西北師范大學數學與統計學院碩士研究生考試科目《高等代數》考試大綱及參考書目 正文

一、考核要求
高等代數是中學代數的繼續和提高，是數學與應用數學專業的一門重要基礎課，對數學專業后繼課程的學習至關重要，它的思想和方法已經滲透到數學的各個領域。高等代數的全部內容分兩大部分，多項式理論和線性代數理論。其中線性代數理論顯得十分重要，不僅在自然科學的各分支有著重要應用，而且在社會科學領域中也有著廣泛的應用。高等代數課程的考核，以其基本理論和方法為主，考核學生對從特殊到一般，從具體到抽象的思想方法的掌握情況，考核學生對基礎知識的掌握情況，考核學生是否具有嚴密的邏輯推理能力， 考核學生應用所學知識解決某些實際問題的能力。

二、考核評價目標
高等代數課程重點考核學生對理論基礎知識掌握的情況及分析解決某些實際問題能力。通過考核，選拔出具有較好的數學功底的學生來攻讀數學學科的碩士研究生?？己嗽u價目標應使錄取的研究生具有較扎實與系統的從事數學的進一步學習及科研工作所需的高等代數知識。

三、考核內容
第一章  基本概念
第一節  集合與映射
主要考核單射、滿射、雙射及的概念及可逆映射的基本性質。
第二節  數學歸納法
主要考核第一數學歸納法和第二數學歸納法原理。
第三節  整數的整除性質
主要考核帶余除法、素數、合數、最大公因數等概念及性質。
第四節  數環與數域
主要考核數環、數域這兩個基本概念及二者之間的關系
第二章  多項式
第一節  一元多項式的定義及運算
考核多項式的加法、減法與乘法運算，給出多項式次數的定義，零次多項式與零多項式。
第二節  多項式的整除性
考核帶余除法定理，它是多項式理論的核心內容。
第三節  最大公因式
考核最大公因式的概念、求法，特別是輾轉相除法，另外考核多項式互素的概念和判斷互素的充分必要條件。
第四節  多項式的分解
考核多項式因式分解的思想。
第五節  重因式
考核多項式重因式的概念、有無重因式的充分必要條件。
第六節  多項式函數  多項式的根
考核多項式的函數的觀點與形式觀點統一的思想。
第七節  復數域和實數域上的多項式
考核系數在復數域上和系數在實數域上的多項式的特點，考核復系數多項式只有一次的是不可約的，而實系數多項式只有一次的和某些二次的是不可約的。
第八節  有理系數多項式
考核有理系數多項式的概念，指出有理系數多項式在有理數域上的分解與在整數集合上的分解是一回事，給出有理系數多項式根的求法和判別有理根的艾森斯坦因方法。

第三章  行列式
第一節  線性方程組與行列式
考核2×2線性方程組與二階行列式的關系，3×3線性方程組與三階行列式的關系， n×n線性方程組與n階行列式是什么關系。
第二節  排列
考核排列概念及基本性質，其中包括偶排列、奇排列、反序數、n!個排列中奇排列、偶排列各占一半。
第三節  n階行列式
考核n階行列式的定義，性質。
第四節  子式和代數余子式
考核按行按列展開的計算方法。
第五節  克拉默規則
考核克拉默規則，

第四章  線性方程組
第一節  線性方程組的消元解法
考核線性方程組的高斯消元法、線性方程線的同解變形、線性方程組的消元法與它的增廣矩陣行初等變換的一致性。
第二節  矩陣的秩、方程組有解判別定理
考核矩陣的秩、初等變換不改變矩陣的秩、線性方程組有解的充分必要條件是系數矩陣與增廣矩陣的秩相等。
第三節  線性方程組的公式解
考核n×n 線性方程組的系數行列式為零時，如何用克拉默規則解該方程組，進一步討論一般的n×m(n≠m)線性方程組的公式解法。
第四節  結式和判別式
考核二元二次方程組的解法。

第五章  矩陣
第一節  矩陣的運算
考核矩陣的加法、數與矩陣的乘法、矩陣的乘法。
第二節  可逆矩陣、矩陣乘積的行列式
考核n階矩陣的逆矩陣、n階矩陣的行列式、矩陣乘積的行列式與各自行列式的關系、n階方陣可逆時逆矩陣的求法。
第三節  矩陣的分塊
考核矩陣的分塊理論，也就是把矩陣中一部分元素看作一個塊（或一個元素）來處理矩陣的有關問題。


第六章  向量空間
第一節  定義及例子
考核向量空間的定義的理解。
第二節  子空間
考核向量空間的子空間、交子空間，和子空間及子空間的判定定理。
第三節  向量的線性相關性
考核向量的線性組合、線性相關、線性無關、極大線性無關組、向量組的等價、向量組的秩。
第四節  基和維數
考核向量空間的基、維數、向量空間的維數公式、余子空間。
第五節  坐標
考核向量由基的表示式、坐標、過渡矩陣、坐標變換公式。
第六節  向量空間的同構
考核向量空間之間的映射、向量空間的同構。
第七節  齊次線性方程組的解空間
考核矩陣的行空間、列空間、行空間的秩與矩陣的秩、齊次線性方程的解空間、基礎解系、解空間的結構。

第七章  線性變換
第一節  線性映射
考核兩個向量空間的線性映射、映射的象與核。
第二節  線性變換的運算
考核向量空間到自身的線性變換、線性變換的和變換、數乘線性變換、線性變換的乘積、線性變換的逆線性變換。
第三節  線性變換的矩陣
考核線性變換在一個基下的矩陣、矩陣確定的線性變換、線性變換的運算與相應的矩陣運算、同一個線性變換在不同基下矩陣的關系。
第四節  不變子空間
考核線性變換下子空間的不變性、象不變子空間、核不變子空間、不變子空間與線性變換的對角化。
第五節  本征值與本征向量
考核矩陣的特征值、特征向量、線性變換的本征值與本征向量、特征子空間。
第六節  可以對角化的矩陣
考核一個線性變換可以對角化的充分必要條件。

第八章  歐氏空間
第一節  向量的內積
考核實數域上向量空間的內積、歐氏空間、向量的長度、夾角、哥西一許瓦茲不等式。
第二節  正交基
考核向量的正交性、正交向量組、正交基、標準正交基、度量矩陣、施密特正交化方法、正交矩陣。
第三節  正交變換
考核保持向量長度不變的正交變換、正交矩陣的性質、正交變換的四個等價條件。
第四節  對稱變換和對稱矩陣
考核對稱變換、對稱矩陣、對稱變換的對角化問題、實對稱矩陣的特征值問題。

第九章  二次型
第一節  二次型和對稱矩陣
考核n元二次多項式總可以用一個對稱矩陣來表示，從而通過矩陣的乘法轉化了二次型的表達形式，這樣把一個二次型（既一個多項式的問題）用對稱矩陣及矩陣的合同變換（成對的行、列初等變換）來處理。從而使問題簡單明了。
第二節  復數域和實數域上的二次型
考核復系數二次型與實系數二次型的典范形式。
第三節  正定二次型
考核了實數域上秩為n的二次型的特征。
第四節  主軸問題
考核通過正交變換化二次型為平方和形式的方法。

[1] 張禾瑞, 郝鈵新. 高等代數. 北京: 高等教育出版社, 2007年第5版.
[2] 王萼芳, 石生明.  高等代數. 北京: 高等教育出版社, 2003年第3版.
[3] 劉仲奎,  楊永保, 程輝, 陳祥恩, 汪小琳.  高等代數.  北京: 高等教育出版社, 2003年.
[4] 陳祥恩, 程輝, 喬虎生，劉仲奎.  高等代數專題選講.  北京: 中國科學技術出版社, 2013年.

西北師范大學

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