601高等數學

    學科/類別名稱及代碼學科/類別所在學院

    070200物理學理學院

    一、總體要求

    高等數學是高等學校理工科各專業學生的一門重要的通識性必修基礎課。該課程的考試主要測試考生的數學素質，要求考生系統地理解高等數學的基本概念和基本理論，掌握高等數學的基本方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數學運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。考試內容包括的知識點有：函數、極限與連續、一元函數微分學、一元函數積分學、向量代數和空間解析幾何、多元函數微分學、多元函數積分學、無窮級數、常微分方程。

    二、內容及比例

    1.函數、極限與連續：10%

    （1）函數

    函數的概念及表示法；函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性；復合函數、反函數、分段函數和隱函數；基本初等函數的性質及其圖形。

    （2）極限

    數列極限與函數極限的概念；函數左極限與右極限的概念，以及函數極限存在與左、右極限之間的關系；極限的性質及四則運算法則，會運用它們進行一些基本的判斷和計算；極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限；利用兩個重要極限求極限的方法；無窮小、無窮大與無窮小的比較，會用等價無窮小求極限。

    （3）連續

    函數連續性的概念（含左連續與右連續）；會判別函數間斷點的類型；連續函數的運算性質和初等函數的連續性；閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小

    值定理、介值定理等），并會應用這些性質。

    2.一元函數微分學：15%

    （1）導數

    導數的概念；導數的幾何意義和物理意義；函數的可導性與連續性之間的關系；平面曲線的切線和法線；基本初等函數的導數；導數的四則運算；復合函數、反函數、隱函數的導數的求法；參數方程所確定的函數的求導方法；高階導數的概念和高階導數的求法。

    （2）微分

    微分的概念；微分的運算法則及函數微分的求法；一階微分形式的不變性。

    （3）微分中值定理與導數的應用

    羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式；洛必達（L’Hospital）法則；函數單調性；函數的極值、函數最大值和最小值；函數圖形的凹凸性、拐點；弧微分及曲率的計算。

    3.一元函數積分學：15%

    （1）不定積分

    原函數與不定積分和定積分的概念；不定積分的換元積分法與分部積分法；有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分。

    （2）定積分

    定積分的概念和基本性質；定積分中值定理；變上限定積分定義的函數及其導數；牛頓－萊布尼茨（Newton－Leibniz）公式；定積分的換元積分法與分部積分法；廣義積分（無窮限積分、瑕積分）。

    （3）定積分的應用

    用定積分表達和計算一些物理量功、引力、壓力；用定積分計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積、截面面積為已知的立體體積。

    4.向量代數和空間解析幾何：5%

    （1）向量代數

    向量的概念；向量的線性運算；向量的數量積、向量積和混合積；兩向量垂直、平行的條件；兩向量的夾角；向量的坐標表達式及其運算；單位向量；方向數與方向余弦。

    （2）空間解析幾何

    曲面方程和空間曲線方程的概念；平面方程、直線方程；平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件；點到平面和點到直線的距離；球面；母線平行于坐標軸的柱面；旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程；常用的二次曲面方程及其圖形；空間曲線的參數方程和一般方程；空間曲線在坐標面上的投影曲線方程。

    5.多元函數微分學：10%

    （1）多元函數

    多元函數的概念；二元函數的極限和連續；有界閉區域上多元連續函數的性質。

    （2）偏導數、全微分和方向導數

    多元函數偏導數和全微分的概念及求法；全微分存在的必要條件和充分條件；多元復合函數、隱函數的求導法；高階偏導數的求法；方向導數與梯度的概念及其計算方法。

    （3）多元微分法的應用

    空間曲線的切線和法平面；曲面的切平面和法線；多元函數的極值和條件極值；拉格朗日乘數法；多元函數的最大值、最小值及其簡單應用。

    6.多元函數積分學：15%

    （1）重積分

    二重積分、三重積分的概念與性質；二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），三重積分的計算方法（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）。

    （2）曲線積分

    兩類曲線積分的概念；兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系；兩類曲線積分的計算方法；格林公式與利用它求曲線積分；平面曲線積分與路徑無關的條件；全微分的原函數。

    （3）曲面積分

    兩類曲面積分的概念、性質及計算；兩類曲面積分之間的關系；高斯（Gauss）公式；斯托克斯（Stokes）公式；散度、旋度的概念及計算。

    7.無窮級數：15%

    （1）常數項級數

    常數項級數及其收斂與發散的概念；收斂級數的和的概念；級數的基本性質與收斂的必要條件；幾何級數與p級數及其收斂性；正項級數收斂性的判別法；交錯級數與萊布尼茨定理；任意項級數的絕對收斂與條件收斂。

    （2）函數項級數

    函數項級數的收斂域、和函數的概念；冪級數及其收斂半徑、收斂區間（指開區間）和收斂域；冪級數在其收斂區間內的基本性質；簡單冪級數的和函數的求法；泰勒級數；初等函數的冪級數展開式；函數的傅里葉（Fourier）系數與傅里葉級數；狄利克雷（Dirichlet）定理；函數在[-l，l]上的傅里葉級數；函數在[0，l]上的正弦級數和余弦級數。

    8.常微分方程：15%

    （1）一階微分方程

    常微分方程的基本概念；變量可分離的微分方程；齊次微分方程；一階線性微分方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用簡單的變量代換求解的某些微分方程。

    （2）高階微分方程

    用降階法解下列方程：y(n)=f(x)，y″=f(x，y′)和y″=f(y，y′)；線性微分方程解的性質及解的結構定理；二階非齊次線性微分方程的常數變易法；二階常系數齊次線性微分方程的解法；自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數、以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程。

    三、題型及分值比例

    1.選擇題：40％

    2.填空題：20％

    3.計算題：30％

    4.證明題：10％

    四、參閱書目

    同濟大學數學系編：《高等數學》，高等教育出版社，2007年4月第6版。

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