2022中國地質大學(武漢)解析幾何與高等代數研究生考研大綱及參考書目 正文

碩士研究生入學《解析幾何與高等代數》考試大綱

第一部分  考試說明
一、考試性質
空間解析幾何與高等代數是為全國碩士研究生入學考試數學系各專業設置的課程，它的評價標準是高等學校優秀本科畢業生能達到及格及以上水平。
二、考試范圍
多項式理論、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間、以及平面與空間直線、空間曲線與二次曲面
三、考試形式與試卷結構
（一）答卷方式：閉卷，筆試；所列題目全部為必答題。
（二）答題時間：180分鐘。
（三）各部分的考查比例：
高等代數部分約80％
空間解析幾何部分約20％
（四）題型類型
填空題、選擇題、計算題和證明題

第二部分  考查要點
一、多項式理論
理解數域P上一元多項式的定義、多項式相乘、次數、一元多項式環等概念，整除的定義，兩個（或若干個）多項式的最大公因式，互素等概念及性質，不可約多項式的定義及性質，多項式與多項式函數的關系，代數基本定理，有理系數多項式的分解與整系數多項式分解的關系，多元多項式、對稱多項式的定義。
能判斷一個代數系統是否是數域，掌握多項式的運算及運算律，能用輾轉相除法求兩個多項式的最大公因式，理解不可約多項式的定義及性質，標準分解式，k重因式，多項式函數的概念、余數定理、多項式的根及性質，對稱多項式基本定理。
了解帶余除法及整除的性質，因式分解及唯一性定理，復（實）系數多項式分解定理及標準分解式，本原多項式的定義、高斯（Gauss）引理、整系數多項式的有理根的性質、愛森斯坦（Eisenstein）判別法。
二、行列式
1、理解行列式的概念，掌握行列式的性質、拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法則。
2、會應用行列式概念和基本性質計算行列式，能夠熟練掌握行列式按行（列）展開定理，能夠運用遞推公式計算一些經典類型的行列式。
三、線性方程組
1、理解n維向量、向量的線性組合與線性表示等概念。
2、理解向量組線性相關、線性無關的定義、熟練掌握判斷向量組線性相關、線性無關的方法。
3、理解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩。
4、理解向量組等價的概念、清楚向量組的秩與矩陣秩的關系。
5、會用克萊姆（Cramer）法則求解線性方程組。
6、掌握齊次線性方程組有非零解的充分必要條件，及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。
7、熟練掌握齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法。
8、理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念。
9、掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。
四、矩陣
1、理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣，熟悉它們的基本性質。
2、掌握矩陣的數乘、加法、乘法、轉置等運算。了解方陣的多項式概念。
3、理解逆矩陣的概念，掌握可逆矩陣的性質，以及矩陣可逆的判別條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。
4、掌握矩陣的初等變換、初等矩陣的性質和矩陣等價的條件，理解矩陣的秩的概念，了解矩陣的秩與行列式的關系。了解矩陣乘積的秩與因子矩陣的秩的關系，了解n階方陣非退化的概念及充分必要條件，熟練掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。
5、熟悉分塊矩陣及其運算。
五、二次型
1、掌握二次型及其矩陣表示，理解非退化線性替換與矩陣合同的概念及性質，清楚二次型的非退化線性替換與二次型矩陣合同的關系。
2、熟練掌握二次型的標準形、秩、規范形的概念以及慣性定理，理解復對稱矩陣合同的充分必要條件。
3、會用配方法化二次型為標準形。
4、掌握二次型及實對稱矩陣正定的概念及性質，掌握二次型及實對稱矩陣正定的判別法。
六、線性空間
1、熟悉集合與映射的概念。
2、理解線性空間的概念掌握線性子空間的判定方法。
3、掌握線性空間的維數、基和坐標等基本概念和性質。
4、掌握線性空間的基變換公式和坐標變換與過渡矩陣的關系。
5、理解生成子空間的概念，掌握求子空間基和維數的方法。
6、掌握子空間的交、和、直積運算及其性質。
七、線性變換
1、掌握線性變換的概念、基本性質及運算。
2、理解線性變換的矩陣，了解線性變換與矩陣的對應關系。
3、掌握線性變換及其矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念及性質，能夠熟練地求解線性變換及矩陣的特征值和特征向量。
4、了解關于特征多項式的哈密爾頓-凱萊（Hamilton-Caylay）定理，了解矩陣的跡。
5、把握線性變換的特征子空間、線性變換的不變子空間的概念。
6、掌握矩陣相似的概念、性質及矩陣可對角化的充分必要條件。熟悉將矩陣化為對角矩陣的方法。
7、理解線性變換的值域、核、秩、零度的概念。
8、了解矩陣的若當（Jordan）標準型。
八、歐氏空間
1、掌握線性空間內積、向量的正交、歐幾里德空間等基本概念及性質。
2、理解正交變換和正交矩陣的關系，歐幾里德空間中過渡矩陣的特殊性。
3、理解和掌握標準（規范）正交基的概念，掌握標準（規范）正交基的求法（施密特（Schimidt）正交化過程），了解標準正交基下度量矩陣、向量坐標及內積的特殊表達。
4、掌握正交矩陣的概念及性質，了解正交矩陣與標準正交基的過渡矩陣之間的關系。
5、理解和掌握正交變換的概念及其性質，了解正交變換和正交矩陣之間的關系。
6、理解正交子空間、正交補的概念及性質。
7、熟練掌握對稱矩陣的特征值和特征向量的特殊性質，對給定的實對稱矩陣A會求正交矩陣T使T′AT成為對角矩陣。
九、平面與空間直線
1、熟練掌握向量代數中的各種運算。
2、熟練掌握平面與空間直線方程的各種形式，能根據已知條件建立平面與空間直線的方程
3、熟悉判定點與平面、空間兩直線、直線與平面的位置關系
4、熟練計算兩直線 、直線與平面、兩平面間的交角、兩異面直線的距離及公垂線方程。
十、空間曲線與二次曲面
1、要求考生熟練掌握曲面與曲線的定義，空間曲線的投影與投影柱面。 
2、掌握常見的二次曲面的標準方程、形狀、作圖及單葉雙曲面、雙曲拋物面的直母線方程及其性質。
3、掌握直線與一般二次曲線相交，并對一般二次曲線進行理論研究的方法，根據二次曲線標準方程將二次曲線分類，從而使二次曲線的幾何理論與代數理論自然聯系在一起，達到用代數方法研究幾何理論的目的。

中國地質大學(武漢)

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